Ce que dit la loi
La loi des grands nombres dit ceci : plus on répète une expérience au hasard, plus la proportion de chaque résultat se rapproche de sa vraie probabilité. Avec une pièce équilibrée (ou une banane bien équilibrée, admettons), la part de piles tend vers 50 % à mesure que les lancers s’accumulent.
Le mathématicien suisse Jacques Bernoulli en a donné l’une des premières démonstrations. Son livre, Ars Conjectandi (« l’art de conjecturer »), a été publié en 1713, après sa mort. Plus de trois siècles plus tard, c’est toujours ce théorème qui fait tenir les sondages, les assurances, les essais de médicaments… et les jeux de hasard.
Le piège : la proportion, pas le nombre
Attention, la loi parle de proportion, pas d’écart en nombre. C’est subtil, et c’est là que beaucoup se trompent.
Imagine dix lancers : 6 piles, 4 faces. L’écart est de 2, et la proportion de piles est de 60 %. Maintenant mille lancers : 520 piles, 480 faces. L’écart est passé à 40, il a grandi ! Mais la proportion, elle, est tombée à 52 %. Elle se rapproche de la moitié, même si l’écart brut augmente.
C’est pour ça que le hasard ne « rattrape » jamais rien. Les piles en trop du début ne sont pas compensés par des faces en plus plus tard. Ils sont simplement noyés dans la masse des lancers suivants. Si tu as lu notre article sur l’erreur du joueur, c’est la même idée vue de loin.
À quelle vitesse ça se stabilise ?
Lentement, et c’est ce qui rend le hasard si trompeur à petite échelle. Une règle simple donne une bonne idée : l’écart typique entre la proportion observée et la vraie probabilité diminue comme 1 divisé par la racine carrée du nombre de lancers.
- Sur 100 lancers de pièce, la part de piles tombe le plus souvent entre 40 % et 60 %.
- Sur 10 000 lancers, le plus souvent entre 49 % et 51 %.
- Sur un million, entre 49,9 % et 50,1 %.
Pour diviser l’incertitude par dix, il faut cent fois plus de lancers. Voilà pourquoi une soirée de jeu peut te paraître incroyablement chanceuse ou désespérément malchanceuse : quelques dizaines de coups, c’est très peu, et à cette échelle le hasard s’exprime librement.
La cloche, en direct
Sur Banana Games, on a un jeu qui montre tout ça en quelques secondes : la planche de Galton. Cent billes tombent à travers huit rangées de clous. À chaque clou, une bille part à gauche ou à droite, une chance sur deux. Elles s’empilent dans neuf colonnes.
Individuellement, chaque bille est imprévisible. Collectivement, elles dessinent presque toujours la même forme : une cloche, bombée au centre, plate sur les bords. Pour tomber tout à gauche, une bille doit partir à gauche huit fois de suite, une chance sur 256 ; pour tomber au centre, il suffit de quatre gauches et quatre droites, dans n’importe quel ordre, ce qui arrive 70 fois plus souvent. Sur 100 billes, la colonne du centre en attend environ 27, chaque bord moins d’une demie.
Dans ce jeu, c’est l’écart à la cloche qui paie : une planche « bizarre » vaut plus qu’une planche sage. Autrement dit, on te récompense quand le hasard s’éloigne de ce que prévoit la loi. C’est rare, justement parce que la loi est très forte.
Ce que la loi ne promet pas
La loi des grands nombres est puissante, mais elle a ses limites. Elle ne dit rien sur :
- Le prochain coup. Elle décrit des moyennes sur beaucoup de lancers, jamais un lancer précis.
- Une soirée. Sur cinquante parties, l’écart à la moyenne peut être énorme, dans un sens ou dans l’autre.
- Une règle injuste. Si un jeu paie moins que sa vraie chance, la loi garantit au contraire que tu perdras, lentement mais sûrement.
Pourquoi c’est important pour nous
Ce dernier point est au cœur de Banana Games. Dans un jeu payé à sa vraie chance, un plein à la roulette rapporte ×37 pour 1 chance sur 37, la pièce ×2 pour 1 chance sur 2. En moyenne, chaque coup rend ce qu’on y a mis : la loi des grands nombres ne joue ni pour toi ni contre toi. Tu peux le vérifier, toutes nos tables sont publiées sur la page des probas, calculées par le même code que celui qui tire tes parties.
Il reste le hasard pur, sa variance, ses séries folles. Et ça, c’est exactement ce qu’on aime mesurer.